Lebesgue 積分
Lebesgue integral
積分を構成する
超直方體$ I\subset\R^n
$ I:=\prod_{i=1}^n[a_i,b_i] ,$ n\in\N^+,$ i\in\N^+,1\le i\le n,$ a_i\in\R,$ b_i\in\R,$ a_i<b_i
體積$ \mu(I):=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i)
集合$ Xの空でない部分集合の族$ \Sigma\subseteq 2^X,$ \Sigma\ne\varnothingは、以下を滿たすならば完全加法族 (σ)である $ A\in\Sigmaならば$ A^\complement\in\Sigma
$ A_1,A_2,\dots\in\Sigmaならば$ \bigcup_i A_i\in\Sigma
外測度 (outer measure。exterior measure)$ \mu:\Sigma\to[0,\infty] $ \mu:\Sigma\to[0,\infty] は以下を滿たすならば外測度と呼ぶ $ \mu(\varnothing)=0
單調律 (monotone)。$ A,B\in\Sigmaに對して、$ A\subset Bならば$ \mu(A)<\mu(B) 劣加法 (subadditive)。$ A_1,A_2,\dots\in\Sigmaに對して、$ \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)
超直方體$ Iの體積$ \mu(I)は定義通りに與へる
$ A\subset\R^nを可算個の超直方體$ I_1,I_2,\dotsで被覆して、$ \mu(A):=\inf\{\sum_{i=1}^\infty\mu(I_i)|\bigcup I_i\supseteq A\}
平行移動不變。$ \mu(A)=\mu(\{x+\lambda|x\in A\})
線形變換$ T:\R^n\to\R^nに對して、$ \mu(TA:=\{Tx|x\in A\})=|T|\mu(A)
$ \mu:\Sigma\to[0,\infty] は以下を滿たすならば測度と呼ぶ
$ \mu(\varnothing)=0
完全加法性 (可算加法性)。互ひに素$ A_i\cap A_j=\varnothingである$ A_1,A_2\dots\in\Sigmaに對して、$ \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)
單調になる
組$ (X,\Sigma,\mu)を測度空閒 (measure space) と呼ぶ 超直方體$ Iの體積$ \mu(I)は定義通りに與へる
$ A\subset\R^nが、$ \forall B_{\in\R^n}(\mu^*(B)=\mu^*(B\cap A)+\mu^*(B\cap A^\complement))となるならば、$ Aは可測 (カラテオドリ可測。$ \mu^*-可測) であると言ふ。可測な$ Aに對して$ \mu(A):=\mu^*(A)と定める
$ \mu([0,1])=1
平行移動不變
可測空閒$ (X,\Sigma),$ (Y,\Tau)に對して函數$ f:X\to Yが可測であるとは、$ \forall A_{\in\Tau}(f^{-1}(A)\in\Sigma) 可測函數$ f:(\R,{\cal L})\to(\Complex,{\cal B}_\Complex)を言ふ $ \cal Lは$ \Rの Lebesgue 可測集合の全體
單函數による定義
指示函數の積分$ \int_S 1_S{\rm d}\mu(S):=\mu(S) 指示函數の係數倍の積分$ \int_S a1_S{\rm d}\mu(S):=a\mu(S) 單函數 (simple function)
單函數$ f:A\to\Rとは、
$ Aを有限個の可測集合の非交和に$ A=S_1\sqcup\dots\sqcup S_nと分割できるとして 有限個の指示函數$ 1_{S_i}:S_i\to\{0,1\}の線形結合$ f=\sum_{i=1}^n a_i 1_{S_i}($ a_i\in\R) と表せる函數を言ふ $ \int_A f{\rm d}\mu:=\sum_{i=1}^n a_i\mu(S_i)
非負可測函數$ f>0に對して$ \int_A f{\rm d}\mu:=\sup\{\int_A s{\rm d}\mu|sはfの單函數による近似\} 收束する限りは一通りに收束する
$ \int_A f{\rm d}\mu:=\int_A f^+{\rm d}\mu-\int_A f^-{\rm d}\mu
$ f=f^+-f^-
$ f^+(x):=\max\{f(x),0\}
$ f^-(x):=-\min\{f(x),0\}
非負可測函數$ f:\R\to[0,\infty] に對して $ f^*(t):=\mu(\{x|x\in A,f(x)>t\}) ,$ f^*:[0,\infty)\to[0,\infty]
$ \int_A f{\rm d}\mu:=\int_0^\infty f^*(t){\rm d}t
$ \int_A f{\rm d}\mu:=\int_A f^+{\rm d}\mu-\int_A f^-{\rm d}\mu
Lebesgue-Stieltjes 積分
"Stieltjes" はオランダ語
Bochner 積分
Pettis 積分