Lebesgue 積分
測度 (mesure)
公理$ \mu:A\to\lbrack0,\infty\rbrack
完全加法性 (可算加法性)$ E_i\cap E_j=\varphiである$ E_1,\cdotsに就いて$ \mu\left(\bigcup_i E_i\right)=\sum_i\mu(E_i)
Lebesgue 測度
可測空閒$ (X,\Sigma),$ (Y,\Tau)に對して函數$ f:X\to Yが可測であるとは、$ \forall E_{\in\Tau}(f^{-1}(E)\in\Sigma) 指示函數の積分$ \int_S 1_S d\mu(S):=\mu(S) 指示函數の係數倍の積分$ \int_S a1_S d\mu(S):=a\mu(S) 單函數 (simple function)
$ Aを有限個の可測集合の非交和に$ A=S_1\sqcup\dots\sqcup S_nと分割できるとして 有限個の指示函數$ 1_{S_i}:S_i\to\{0,1\}の線形結合$ f=\sum_{i=1}^n a_i 1_{S_i}($ a_i\in\R) と表せる函數を言ふ 單函數$ f=\sum_{i=1}^n a_i 1_{S_i}の積分を$ \int_A f~d\mu:=\sum_{i=1}^n a_i\mu(S_i)と定義できる
$ f>0に對して$ \int_A f~d\mu:=\sup\{\int_A sd\mu|sはfの單函數による近似\}
收束する限りは一通りに收束する
gauge による一般化